Dicas para cálculos.

Dicas para cálculos.

DICA 1: Multiplicar um número por 10:

Basta deslocar a virgula uma casa decimal para a direita.
Exemplo 1: 16 x 10 = 160
Exemplo 2: 15,567 x 10 = 155,67

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DICA 2: Multiplicar um número por 10ⁿ:

Basta deslocar a virgula n casas decimais para a direita.
Exemplo 1: 16 x 10³ = 16000
Exemplo 2: 15,567 x 10⁴ = 155670

Entao, se quisermos efetuar a seguinte multiplicao: 12 x 100. Sabemos que 100=10², entao:
12 x 100 = 12 x 10² = 1200.

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DICA 3: Dividir um número por 10:

Basta deslocar a virgula uma casa decimal para a esquerda.
Exemplo 1: 16 / 10 = 1,6
Exemplo 2: 15,567 / 10 = 1,5567

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DICA 4: Dividir um número por 10ⁿ:

Basta deslocar a virgula n casas decimais para a esquerda.
Exemplo 1: 16 / 10³ = 0,016
Exemplo 2: 15,567 / 10² = 0,15567

Entao, se quisermos efetuar a seguinte divisao: 12 / 1000. Sabemos que 1000=10³, entao:
12 / 1000 = 12 / 10³ = 0,012.

Adição e subtração de matriizes

A operação com qualquer matriz sempre resultará em outra matriz, independentemente da operação utilizada.

Antes de falarmos da adição e da subtração de matrizes, iremos relembrar do que uma matriz é formada: toda matriz tem seus elementos que são dispostos em linhas e colunas.

A quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a 1. Cada elemento vem representado com a linha e a coluna que pertence. Exemplo: Dada uma matriz B de ordem 2 x 3 o elemento que se encontra na 1º linha e 2° coluna será representado por b ₁₂.

►Adição

As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem.

Assim podemos concluir que:

Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a₁₁ + b₁₁ = c₁₁.

Exemplos:
Dada a matriz A= 3 x 3 e matriz B= 3 x 3, se somarmos a A + B, teremos:

+ = 3 x 3

Observe os elementos em destaques:

a ₁₃ = - 1 e b₁₃ = - 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que é o
c₁₃ = -6. Pois -1 + (-5) = -1 – 5 = - 6

O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c ₃₂, tivemos que somar a₃₂ + b₃₂. Pois, 3 + (-5) = 3 – 5 = - 2

Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.

►Subtração

As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem.

Assim temos:
Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a₂₁ – b₂₁ = c₂₁.

Exemplos:

Dada a matriz A = 3 x 3 e B = 3 x 3, se subtrairmos A – B, teremos:

- = 3 x 3

Observe os elementos destacados:

Quando subtraímos a ₁₃ – b₁₃ = c_13, -1 – (-5) = -1 + 5 = 4

Quando subtraímos a ₃₁ – b₃₁ = c_31, - 4 – (-1) = -4 + 1 = -3

Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.

Postado por : Uelder

Fatoração

Fatoração

Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.

Ex: ax + ay = a.(x+y)

Existem vários casos de fatoração como:

1) Fator Comum em evidência

Quando os termos apresentam fatores comuns

Observe o polinômio:
ax + ay » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.

Assim: ax + ay = a.(x+y)
Forma fatorada

Exs : Fatore:

a) bx + by - bz = b.(x+y-z)

b)

c)

d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)

e)

2) Fatoração por agrupamento

Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.

Como por exemplo:
ax + ay + bx + by
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:

a.(x+y) + b.(x+y)

Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:

(x+y).(a+b)

Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)

Exs: Fatore:

a)
x é fator a é fator (x-3) é fator comum Forma
comum comum fatorada

b) é fator é fator (2+a) é fator comum Forma
comum comum fatorada

3) Fatoração por diferença de quadrados:

Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado

Assim:

Exs: Fatore:

a)

b)

c)
Note que é possível fatorar a expressão duas vezes

Calculando porcentagem

Introdução:

Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos:

Ex.1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?

O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo:

Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108
Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.

Ex.2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos?

A quantidade de meninas será:

E a de meninos será: 100 - 40 = 60.

Sugestão: Caso tenham dúvidas em multiplicação de frações, visitem a seção Frações, presente neste site, antes de iniciar o estudo de porcentagem.

Razão centesimal:

Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100.

Exemplos:

(lê-se 10 por cento)

(lê-se 150 por cento)

Definição de taxa porcentual ou porcentagem:

Chama-se taxa porcentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, , à razão tal que Indica-se por

Definição meio complicada não acham? Pois é muito simples:

Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor.

Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100).

Exemplos para compreendermos melhor:

Ex.1) Calcule:

a) 10% de 500:
A razão centesimal é :
Portanto,

b) 25% de 200:

Portanto,

Ex.2) Qual a taxa porcentual de:

a) 3 sobre 5?

5x = 300

A taxa é de 60%

b) 10 sobre 20?

20x = 1000
x = 50

A taxa

postado por Welder

Elementos básicos para a construção de matrizes

Aqui tomaremos o conjunto N dos números naturais, como:

N={1,2,3,4,5,6,7,...}

O produto cartesiano N×N indicará o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a,b), onde a e b são números naturais, isto é:

N×N={(a,b): a e b são números naturais }

Uma relação importante em N×N é:

Smn={(i,j): 1<i<m, 1<j<n}

Definição de matriz

Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smnassocia um número real (ou complexo).

Uma forma comum e prática para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo m×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.

a(1,1)	a(1,2)	...	a(1,n)
a(2,1)	a(2,2)	...	a(2,n)
a(m,1)	a(m,2)	...	a(m,n)

Definições básicas sobre matrizes

Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.

Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).

Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].

Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.

Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.

A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:

a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)

Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.

Matriz real é aquela que tem números reais como elementos.

Matriz complexa é aquela que tem números complexos como elementos.

Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.

Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.

Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.

Continuação...

Jost Burgi

Nascido em 1552 – 1632 ele morreu.

Ele foi matemático, fabricante de instrumentos astronômicos e foi também um relojoeiro.

A idéia dele ocorreu 6 anos antes de Napier, o resultado dele foi publicado em 1620. Foi também considerado uma descoberta independente.

Ele emprega uma razão maior do que 1, 1,0001=1+10^-4 . Já Napier partiu de numero menor que 1,0 primeiro termo dele foi a PG era 10^-8 , já a de Burgi era 10^-7 , ele considerou que a PG cuja razão era + próxima de 1.

Progressão Aritmética

O numero 2 e´proverbio

Existem diversos provérbios que envolvem o número dois. Exemplos:

"Mais vale um pássaro do que dois voando".
"Homem avisado vale por dois".
"Matar dois coelhos numa cajadada só".
"Mais vale um toma do que dois te darei".
"Dois proveitos não cabem num saco só".
"Entre os dois venha o diabo e escolha".
"Criados e bois, um ano até dois".
"Custa mais sustentar um vício do que educar dois filhos".
"Duas mudanças equivalem a um incêndio".
"Duas vezes perdido o que ao ingrato é concebido".
"Mais vale um hoje do que dois amanhã".
"Mais vale um pé do que duas muletas".
"Mais valem duas pernas do que três andas".
"Não há dois altos sem um baixo no meio".
"Dois pilotos fazem um barco ir ao fundo".
"Dois sacos vazios não se põe em pé".
"Dois sentidos não assam milho".
"Dois sobre um asno, sinal de bom amigo".
"Dois pesos e duas medidas".

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