Dicas para cálculos.

Dicas para cálculos.

DICA 1: Multiplicar um número por 10:

Basta deslocar a virgula uma casa decimal para a direita.
Exemplo 1: 16 x 10 = 160
Exemplo 2: 15,567 x 10 = 155,67

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DICA 2: Multiplicar um número por 10ⁿ:

Basta deslocar a virgula n casas decimais para a direita.
Exemplo 1: 16 x 10³ = 16000
Exemplo 2: 15,567 x 10⁴ = 155670

Entao, se quisermos efetuar a seguinte multiplicao: 12 x 100. Sabemos que 100=10², entao:
12 x 100 = 12 x 10² = 1200.

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DICA 3: Dividir um número por 10:

Basta deslocar a virgula uma casa decimal para a esquerda.
Exemplo 1: 16 / 10 = 1,6
Exemplo 2: 15,567 / 10 = 1,5567

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DICA 4: Dividir um número por 10ⁿ:

Basta deslocar a virgula n casas decimais para a esquerda.
Exemplo 1: 16 / 10³ = 0,016
Exemplo 2: 15,567 / 10² = 0,15567

Entao, se quisermos efetuar a seguinte divisao: 12 / 1000. Sabemos que 1000=10³, entao:
12 / 1000 = 12 / 10³ = 0,012.

Adição e subtração de matriizes

A operação com qualquer matriz sempre resultará em outra matriz, independentemente da operação utilizada.

Antes de falarmos da adição e da subtração de matrizes, iremos relembrar do que uma matriz é formada: toda matriz tem seus elementos que são dispostos em linhas e colunas.

A quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a 1. Cada elemento vem representado com a linha e a coluna que pertence. Exemplo: Dada uma matriz B de ordem 2 x 3 o elemento que se encontra na 1º linha e 2° coluna será representado por b ₁₂.

►Adição

As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem.

Assim podemos concluir que:

Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a₁₁ + b₁₁ = c₁₁.

Exemplos:
Dada a matriz A= 3 x 3 e matriz B= 3 x 3, se somarmos a A + B, teremos:

+ = 3 x 3

Observe os elementos em destaques:

a ₁₃ = - 1 e b₁₃ = - 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que é o
c₁₃ = -6. Pois -1 + (-5) = -1 – 5 = - 6

O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c ₃₂, tivemos que somar a₃₂ + b₃₂. Pois, 3 + (-5) = 3 – 5 = - 2

Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.

►Subtração

As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem.

Assim temos:
Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a₂₁ – b₂₁ = c₂₁.

Exemplos:

Dada a matriz A = 3 x 3 e B = 3 x 3, se subtrairmos A – B, teremos:

- = 3 x 3

Observe os elementos destacados:

Quando subtraímos a ₁₃ – b₁₃ = c_13, -1 – (-5) = -1 + 5 = 4

Quando subtraímos a ₃₁ – b₃₁ = c_31, - 4 – (-1) = -4 + 1 = -3

Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.

Postado por : Uelder

Fatoração

Fatoração

Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.

Ex: ax + ay = a.(x+y)

Existem vários casos de fatoração como:

1) Fator Comum em evidência

Quando os termos apresentam fatores comuns

Observe o polinômio:
ax + ay » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.

Assim: ax + ay = a.(x+y)
Forma fatorada

Exs : Fatore:

a) bx + by - bz = b.(x+y-z)

b)

c)

d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)

e)

2) Fatoração por agrupamento

Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.

Como por exemplo:
ax + ay + bx + by
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:

a.(x+y) + b.(x+y)

Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:

(x+y).(a+b)

Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)

Exs: Fatore:

a)
x é fator a é fator (x-3) é fator comum Forma
comum comum fatorada

b) é fator é fator (2+a) é fator comum Forma
comum comum fatorada

3) Fatoração por diferença de quadrados:

Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado

Assim:

Exs: Fatore:

a)

b)

c)
Note que é possível fatorar a expressão duas vezes

Calculando porcentagem

Introdução:

Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos:

Ex.1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?

O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo:

Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108
Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.

Ex.2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos?

A quantidade de meninas será:

E a de meninos será: 100 - 40 = 60.

Sugestão: Caso tenham dúvidas em multiplicação de frações, visitem a seção Frações, presente neste site, antes de iniciar o estudo de porcentagem.

Razão centesimal:

Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100.

Exemplos:

(lê-se 10 por cento)

(lê-se 150 por cento)

Definição de taxa porcentual ou porcentagem:

Chama-se taxa porcentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, , à razão tal que Indica-se por

Definição meio complicada não acham? Pois é muito simples:

Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor.

Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100).

Exemplos para compreendermos melhor:

Ex.1) Calcule:

a) 10% de 500:
A razão centesimal é :
Portanto,

b) 25% de 200:

Portanto,

Ex.2) Qual a taxa porcentual de:

a) 3 sobre 5?

5x = 300

A taxa é de 60%

b) 10 sobre 20?

20x = 1000
x = 50

A taxa

postado por Welder

Elementos básicos para a construção de matrizes

Aqui tomaremos o conjunto N dos números naturais, como:

N={1,2,3,4,5,6,7,...}

O produto cartesiano N×N indicará o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a,b), onde a e b são números naturais, isto é:

N×N={(a,b): a e b são números naturais }

Uma relação importante em N×N é:

Smn={(i,j): 1<i<m, 1<j<n}

Definição de matriz

Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smnassocia um número real (ou complexo).

Uma forma comum e prática para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo m×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.

a(1,1)	a(1,2)	...	a(1,n)
a(2,1)	a(2,2)	...	a(2,n)
a(m,1)	a(m,2)	...	a(m,n)

Definições básicas sobre matrizes

Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.

Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).

Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].

Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.

Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.

A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:

a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)

Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.

Matriz real é aquela que tem números reais como elementos.

Matriz complexa é aquela que tem números complexos como elementos.

Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.

Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.

Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.

Continuação...

Jost Burgi

Nascido em 1552 – 1632 ele morreu.

Ele foi matemático, fabricante de instrumentos astronômicos e foi também um relojoeiro.

A idéia dele ocorreu 6 anos antes de Napier, o resultado dele foi publicado em 1620. Foi também considerado uma descoberta independente.

Ele emprega uma razão maior do que 1, 1,0001=1+10^-4 . Já Napier partiu de numero menor que 1,0 primeiro termo dele foi a PG era 10^-8 , já a de Burgi era 10^-7 , ele considerou que a PG cuja razão era + próxima de 1.

Progressão Aritmética